Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1964 год
>>
10 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Даны четыре окружности, причем окружности S1 и S3 пересекаются с обеими окружностями S2 и S4. Докажите, что если точки пересечения S1 с S2 и S3 с S4 лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S1 с S4 и S2 с S3 лежат на одной окружности или прямой (рис.).
Решение
В пачке бумаги формата А4 250 листов. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 7 недель?
Решение
Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.
Решение
Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра. Решение
Доказать, что любое чётное число 2n
0 может быть единственным образом
представлено в виде
2n = (x + y)2 + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные
числа.
Решение
Убрать все задачи
Даны четыре окружности, причем окружности S1 и S3 пересекаются с обеими окружностями S2 и S4. Докажите, что если точки пересечения S1 с S2 и S3 с S4 лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S1 с S4 и S2 с S3 лежат на одной окружности или прямой (рис.).
РешениеВ пачке бумаги формата А4 250 листов. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 7 недель?
РешениеДокажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.
РешениеДокажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.
РешениеДоказать, что любое чётное число 2n
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух
точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка
перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки
такой системы лежат на одной окружности.
Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон.
Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и
центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).
Доказать, что любое чётное число 2n 0 может быть единственным образом
представлено в виде
2n = (x + y)2 + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные
числа.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78541 (#1) |
|
|
В n мензурок налиты n разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно 1/n от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)
|
|
Решение |
Задача 78542 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78543 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78538 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78544 (#5) |
|
|
Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
