Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78541 (#1)

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Задачи на смеси и концентрации	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В n мензурок налиты n разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно ¹/_n от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78542 (#2)

Темы:	[	Центр масс	]
Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 78543 (#3)

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).

Прислать комментарий Решение

Задача 78538 (#4)

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что любое чётное число 2n $\ge$ 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 78544 (#5)

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]