Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1967 год
>>
8 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Докажите, что
На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние
треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков
AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
Показать, что 271958 – 108878 + 101528 делится на 26460.
На плоскости дано несколько правильных n-угольников. Докажите,
что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.
На плоскости лежат две одинаковые буквы .
Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'.
Длинные палочки разбиты на n равных частей точками
A1,..., An - 1;
A1',..., An - 1' (точки деления
нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai'
пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки
X1,..., Xn - 1
образуют выпуклый многоугольник.
Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78600 (#1) |
|
|
Существуют ли два таких последовательных натуральных числа, что сумма цифр
каждого из них делится на 125?
Найти наименьшую пару таких чисел или доказать, что их не существует.
|
|
Решение |
Задача 57536 (#2) |
|
|
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
|
|
|
Решение |
Задача 78602 (#4) |
|
|
Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.
|
|
|
Решение |
Задача 78603 (#3) |
|
|
Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.
|
|
Решение |
Задача 78604 (#5) |
|
|
Остап Бендер организовал в городе Фуксе раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов, причём Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну – не членам. Оказалось, что существует лишь один способ такой раздачи (так, чтобы раздать всех слонов). Какое наибольшее число слонов могло быть у О. Бендера? (Предполагается, что каждому из пришедших достался хотя бы один слон.)
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
