Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1973 год
>>
7 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Решение
Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.
Решение
Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Решение
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского вдвое меньше максимальной скорости гангстера. Доказать, что полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером. Решение
Убрать все задачи
Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками (60 девяток).
РешениеДан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
R = 
. 
. 
.
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
РешениеИз точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.
РешениеДокажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
РешениеВ центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского вдвое меньше максимальной скорости гангстера. Доказать, что полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 2]
Дан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры
которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин.
Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин — гангстер.
Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по его
сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского вдвое меньше
максимальной скорости гангстера. Доказать, что полицейский может бежать так,
что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером.
Страница: 1 [Всего задач: 2]
Задача 79251 (#2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 79253 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 2]
