Каталог по источникам

Выбрано 8 задач

Число y получается из натурального числа x некоторой перестановкой его цифр. Докажите, что каково бы ни было x,

Остап Бендер организовал в городе Фуксе раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов, причём Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну – не членам. Оказалось, что существует лишь один способ такой раздачи (так, чтобы раздать всех слонов). Какое наибольшее число слонов могло быть у О. Бендера? (Предполагается, что каждому из пришедших достался хотя бы один слон.)

Решение

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

Решение

Автор: Седракян Н.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$, $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

Решение

На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков DE.

Решение

2ⁿ = 10a + b. Доказать, что если n > 3, то ab делится на 6. (n, a и b – целые числа, b < 10.)

Решение

Пусть a, b, c, d, l – целые числа. Докажите, что если дробь сократима на число k, то ad – bc делится на k.

Решение

Прибор для сравнения чисел log_ab и log_cd (a, b, c, d > 1) работает по правилам: если b > a и d > c, то он переходит к сравнению чисел log_a^b/_a и log_c^d/_c если b < a и d < c, то он переходит к сравнению чисел log_dc и log_ba; если (b − a)(d − c) ≤ 0, то он выдаёт ответ.
а) Покажите, как прибор сравнит числа log₂₅75 и log₆₅260.
б) Докажите, что любые два неравных логарифма он сравнит за конечное число шагов.

Решение

Задача 79628