Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите,
что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB
пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.
Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и
ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).
Докажите, что abc = 4prR и
ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные
прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3
и DAO4. Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.
Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45o.
Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно
ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между
которыми равно 1?
Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой
лежит ровно n целочисленных точек.
Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.
На плоскости взяты шесть точек A1, A2, B1, B2, C1, C2.
Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A1B1C1,
A1B2C2, A2B1C2, A2B2C1,
проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников
A2B2C2, A2B1C1, A1B2C1, A1B1C2, проходят через
одну точку.
Пусть стороны самопересекающихся
четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность,
пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и
P', Q', R', S'
соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q,
и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с
соответственными тремя из точек
P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже
совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины
четырехугольников.)
Ось симметрии многоугольника пересекает его стороны
в точках A и B. Докажите, что точка A является либо
вершиной многоугольника, либо серединой стороны, перпендикулярной
оси симметрии.
Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
Постройте рациональную параметризацию окружности x2 + y2 = 1, проведя прямые
через точку (1, 0).
Докажите, что если
(ABCX) = (ABCY), то X = Y (все
точки попарно различны, кроме, быть может, точек X и Y,
и лежат на одной прямой).
Пусть ABCD и
A1B1C1D1 — два выпуклых
четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что
если
A >
A1, то
B <
B1,
C >
C1,
D <
D1.
Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Задача 86484 (#1.1) |
|
|
При каких значениях m уравнения mx – 1000 = 1001 и 1001x = m – 1000x имеют общий корень?
|
|
Решение |
Задача 86485 (#1.2) |
|
|
Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните
площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая
получится, если из него вынуть все "угловые" кубики.
|
|
|
Решение |
Задача 86486 (#1.3) |
|
|
Назовем натуральное число "замечательным", если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи первого замечательного числа?
|
|
|
Решение |
Задача 86487 (#2.1) |
|
|
Докажите, что ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + 1/98 – 1/99 + 1/100 > ⅕.
|
|
|
Решение |
Задача 86488 (#2.2) |
|
|
Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
