В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки H и F – середины рёбер MN и NP соответственно, точка E лежит на отрезке SH , причём SH = 3 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки C и D лежат на прямой EF , а прямая AB касается сферы в одной из точек отрезка AB . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

   Решение

Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?

   Решение

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a боковым ребром b .

   Решение

Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

   Решение

В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон S. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом S за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      

В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон S. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом S за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.

Прислать комментарий

Решение

В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что
  а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;
  б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]