Каталог по источникам

Выбрано 15 задач

Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?

Братья Петя и Вася решили снять смешной ролик и выложить его в интернет. Сначала они сняли, как каждый из них идёт из дома в школу — Вася шёл 8 минут, а Петя шёл 5 минут. Потом пришли домой и сели за компьютер монтировать видео: они запустили одновременно Васино видео с начала и Петино видео с конца (в обратном направлении); в момент, когда на обоих роликах братья оказались в одной и той же точке пути, они склеили Петино видео с Васиным. Получился ролик, на котором Вася идёт из дома в школу, а потом в какой-то момент вдруг превращается в Петю и идёт домой задом наперёд. А какой длительности получился ролик?

Решение

Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.

Решение

Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Решение

Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.

Решение

Найти все равнобочные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.

Решение

На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.

Решение

а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
б) Что можно сказать в случае десятиугольника?

Решение

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...

(12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;

S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

Решение

У каждого марсианина три руки. Могут ли семь марсиан взяться за руки?

Решение

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

Решение

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA² = MB² + MC².

Решение

Докажите, что для любого натурального n в десятичной записи чисел 2002ⁿ и 2002ⁿ + 2ⁿ одинаковое число цифр.

Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ..., 1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?

Решение

Задача 98534

Задача 98538

Задача 98540

Задача 98541

Задача 98542