Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98549  (#1)

Темы:   [ Неопределено ] [ Пересекающиеся окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка O, лежащая как внутри треугольника с красными вершинами, так и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от O до любой красной точки меньше расстояния от O до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98550  (#2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98551  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.
Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98552  (#4)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Процессы и операции ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть F₁, F₂, F₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где F_k+1  (при k = 1, 2, 3, ...)  получается так: F_k разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98553  (#5)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями