Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 200 201 202 203 204 205 206 >> [Всего задач: 1255]

Задача 61298 (#09.047)

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи 9.46, если в качестве начального условия выбрать x₁ = - 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61299 (#09.048)

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Итерационная формула Герона. Докажите, что последовательность чисел {x_n}, заданная условиями

x₁ = 1, x_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right.$ x_n + $\displaystyle {\frac{k}{x_n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right)$ ,

сходится. Найдите предел этой последовательности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61300 (#09.049)

Тема:

[

Рекуррентные соотношения (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {a_n} равенствами

a₀ = a, a_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$ a_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61301 (#09.050)

Тема:

[

Рекуррентные соотношения (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Зафиксируем числа a₀ и a₁. Построим последовательность {a_n} в которой

a_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Выразите a_n через a₀, a₁ и n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61302 (#09.051)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти $\sqrt[3]{x}$ (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить $\sqrt{x}$ . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = $\sqrt{\sqrt{x}}$ , а остальные элементы определяются соотношением

y_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x\,y_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ y_n = $\displaystyle \sqrt[3]{x}$ .

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 200 201 202 203 204 205 206 >> [Всего задач: 1255]