Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]

Задача 56801 (#04.050)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 4
Классы: 9

Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃ и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁,..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁,..., A_nC_n пересекутся в одной точке O. Докажите, что A₁B₁^.A₂B₂^....^.A_nB_n = A₁D₁^.A₂D₂^....^.A_nD_n.

Прислать комментарий Решение

Задача 56802 (#04.051)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 4
Классы: 9

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 56803 (#04.052)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 4
Классы: 9

Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до прямых AB и AC равны d_b и d_c. Докажите, что d_b/d_c = BX^.AC/(CX^.AB).

Прислать комментарий Решение

Задача 56804 (#04.053)

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Новиков И.Д.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Прислать комментарий Решение

Задача 56805 (#04.054)

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 5
Классы: 9

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]