Параграфы:
-
Вводные задачи
(4 задачи)
параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники
(20 задач)
параграф 2. Четырехугольники
(16 задач)
параграф 3. Теорема Птолемея
(11 задач)
параграф 4. Пятиугольники
(4 задачи)
параграф 5. Шестиугольники
(6 задач)
параграф 6. Правильные многоугольники
(24 задачи)
параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники
(10 задач)
параграф 8. Произвольные выпуклые многоугольники
(5 задач)
параграф 9. Теорема Паскаля
(10 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 110]
Точка, лежащая внутри описанного n-угольника,
соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания.
Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены
в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных
треугольников равно произведению площадей синих треугольников.
В 2n-угольнике (n нечетно)
A1...A2n,
описанном около окружности с центром O, диагонали
A1An + 1, A2An + 2,..., An - 1A2n - 1 проходят через точку O.
Докажите, что и диагональ AnA2n проходит через точку O.
Окружность радиуса r касается сторон многоугольника
в точках
A1,..., An, причем длина стороны, на которой лежит
точка Ai, равна ai. Точка X удалена от центра окружности на
расстояние d. Докажите, что
a1XA12 + ... + anXAn2 = P(r2 + d2),
где P — периметр многоугольника.
Около окружности описан n-угольник
A1...An; l — произвольная касательная к окружности, не проходящая через
вершины n-угольника. Пусть ai — расстояние от вершины Ai
до прямой l, bi — расстояние от точки касания
стороны
AiAi + 1 с окружностью до прямой l. Докажите, что:
а) величина b1...bn/(a1...an) не зависит от выбора прямой l;
б) величина a1a3...a2m - 1/(a2a4...a2m) не зависит от выбора прямой l, если n = 2m.
Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные,
остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и
нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот
многоугольник нельзя вписать окружность.
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 110]
Задача 57095 (#06.082) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 57096 (#06.083) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57097 (#06.084) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57098 (#06.085) |
|
|
а) величина b1...bn/(a1...an) не зависит от выбора прямой l;
б) величина a1a3...a2m - 1/(a2a4...a2m) не зависит от выбора прямой l, если n = 2m.
|
|
|
Решение |
Задача 57099 (#06.086) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 110]
