Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]

Задача 57726 (#13.043)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

На плоскости даны четыре вектора a, b, c и d, сумма которых равна нулю. Докажите, что

|a| + |b| + |c| + |d| $\displaystyle \ge$ |a + d| + |b + d| + |c + d|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57727 (#13.044)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Прислать комментарий Решение

Задача 57728 (#13.045)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57729 (#13.046)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Прислать комментарий Решение

Задача 57730 (#13.047)

Тема:

[

Псевдоскалярное произведение

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что:
а) ( $\lambda$ a) $\vee$ b = $\lambda$ (a $\vee$ b);
б) a $\vee$ (b + c) = a $\vee$ b + a $\vee$ c.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]