ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 83]      



Задача 61095  (#07.031)

Тема:   [ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что многочлен  x44 + x33 + x22 + x11 + 1  делится на   x4 + x3 + x2 + x + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61096  (#07.032)

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Вычислите:
  а)  cos /7 + cos /7 + cos /7;
  б)   cos /7 cos /7 cos /7.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61097  (#07.033)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

а) Докажите, что многочлен  P(x) = (cos φ + x sin φ)n – cos nφ – x sin nφ  делится на  x2 + 1.
б) Докажите, что многочлен  Q(x) = xnsin φ – ρn–1xsin nφ + ρnsin(n – 1)φ  делится на  x2 – 2ρxcos φ + ρ2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61098  (#07.034)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
[ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите тождества

а)  

б)  

в)  

г)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61099  (#07.035)

 [Многочлены Чебышева]
Темы:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
[ Многочлены Чебышева ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Используя формулу Муавра, докажите, что  cos nx = Tn(cos x),  sin nx = sin x Un–1(cos x),  где Tn(z) и Un(z) – многочлены степени n.
При этом по определению  U0(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

  Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 83]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .