После кризиса все цены поднялись на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?

   Решение

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из вершин A и B, пересекаются в точке H, причём  ∠AHB = 120°,  а биссектрисы, проведённые из вершин B и C, – в точке K, причём  ∠BKC = 130°.  Найдите угол ABC.

   Решение

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      

По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

Прислать комментарий

Решение

Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли 2005 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?

Прислать комментарий

Решение

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{	sin x+a=bx
	cos x=b

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Прислать комментарий

Решение

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{	cos x=ax+b
	sin x+a=0

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]