Книги/журналы:
-
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
(556 задач)
Иванов С.В., Математический кружок
(180 задач)
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
(1254 задачи)
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
(1950 задач)
Прасолов В.В., Задачи по алгебре, арифметике и анализу
(1 задача)
Г. Полиа и Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа
(1 задача)
Журнал "Квант"
(470 задач)
Е.Г.Козлова, Сказки и подсказки
(349 задач)
V. Pantaloni, E. Southall, Geometry Snacks
(1 задача)
Фильтр
Задачи
Страница: << 687 688 689 690 691 692 693 >> [Всего задач: 4557]
n отрезков A1 B1 , A2 B2 , ... , An Bn (рис. 5) расположены
на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных
прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не
лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных
в точках A1 , A2 , ... , An . Докажите, что
+
+...+
=n.
Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f(x1) и f(x2).
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
Страница: << 687 688 689 690 691 692 693 >> [Всего задач: 4557]
Задача 73778 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 73786 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 73808 |
|
|
а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство
б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство
|
|
|
Решение |
Задача 73812 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 30685 |
|
|
а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p.
б) Пусть p > 5 – простое число. Докажите, что число 1...1 (p – 1 единица) делится на p.
|
|
|
Решение |
Страница: << 687 688 689 690 691 692 693 >> [Всего задач: 4557]
