Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 744 745 746 747 748 749 750 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56842

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности. Докажите, что OB $\bot$ BI (или же O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 56843

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁; M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2r; б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56844

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причем a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 56845

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56856

Тема:

[

Прямоугольные треугольники (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен квадрат ABPQ. Пусть $\alpha$ = $\angle$ ACQ, $\beta$ = $\angle$ QCP и $\gamma$ = $\angle$ PCB. Докажите, что cos $\beta$ = cos $\alpha$ cos $\gamma$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 744 745 746 747 748 749 750 >> [Всего задач: 4557]