Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 743 744 745 746 747 748 749 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56834

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции некоторой внутренней точки O треугольника ABC на высоты. Докажите, что если длины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ равны, то они равны 2r.

Прислать комментарий Решение

Задача 56835

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Угол величиной $\alpha$ = $\angle$ BAC вращается вокруг своей вершины O — середины основания AC равнобедренного треугольника ABC. Стороны этого угла пересекают отрезки AB и BC в точках P и Q. Докажите, что периметр треугольника PBQ остается постоянным.

Прислать комментарий Решение

Задача 56836

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

В неравнобедренном треугольнике ABC через середину M стороны BC и центр O вписанной окружности проведена прямая MO, пересекающая высоту AH в точке E. Докажите, что AE = r.

Прислать комментарий Решение

Задача 56837

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках P и Q. Расстояния от точек P, Q и A до некоторой касательной к этой окружности равны u, v и w. Докажите, что uv/w² = sin²(A/2).

Прислать комментарий Решение

Задача 56841

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а) d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б) d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 743 744 745 746 747 748 749 >> [Всего задач: 4557]