Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 885 886 887 888 889 890 891 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58143

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 58144

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

Прислать комментарий Решение

Задача 58145

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58211

Тема:

[

Теорема Пика

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)² точек целочисленной решётки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58261

Тема:

[

Разные задачи на разрезания

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

а) Докажите, что из пяти попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
б) Докажите, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 885 886 887 888 889 890 891 >> [Всего задач: 4557]