Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 887 888 889 890 891 892 893 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58397

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

Прислать комментарий Решение

Задача 58398

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A₁ (соответственно B₁, C₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A₂ (соответственно B₂, C₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 58399

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

Прислать комментарий Решение

Задача 58400

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$ ^. $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ ^. $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ ^. $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$ $\displaystyle \ge$ 1,

где a, b, c — длины сторон треугольника.
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A₁, B₁, C₁. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a₁, b₁, c₁ — длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S — площадь треугольника ABC. Докажите, что

4S² $\displaystyle \le$ a²b₁c₁ + b²a₁c₁ + c²a₁b₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58401

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 887 888 889 890 891 892 893 >> [Всего задач: 4557]