Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 886 887 888 889 890 891 892 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58270

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.

Прислать комментарий Решение

Задача 58273

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 58274

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

На круглом столе радиуса R расположено без наложений n круглых монет радиуса r, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что R/r $\le$ 2 $\sqrt{n}$ + 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 58282

Тема:

[

Замощения костями домино и плитками

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n $\ge$ 7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

Прислать комментарий Решение

Задача 58290

Тема:

[

Системы точек

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что для любого натурального N существует N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 886 887 888 889 890 891 892 >> [Всего задач: 4557]