соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 778 779 780 781 782 783 784 >> [Всего задач: 8157]
У равносторонних треугольников $ABC$ и $CDE$ вершина $C$ лежит на отрезке $AE$, вершины $B$ и $D$ по одну сторону от этого отрезка. Описанные около треугольников окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ повторно пересекаются в точке $F$. Прямая $O_1O_2$ пересекает $AD$ в точке $K$. Докажите, что $AK=BF$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу.
Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.
В остроугольном треугольнике расположен квадрат: две его вершины находятся на одной из сторон треугольника, а две другие по одной на других сторонах. Аналогичные квадраты построены для двух других сторон треугольника. Докажите, что из трех отрезков, равных сторонам этих квадратов, можно составить остроугольный треугольник.
На плоскости даны 2018 точек, все попарные расстояния между которыми различны. Для каждой точки отметили ближайшую к ней среди остальных. Какое наименьшее число точек может оказаться отмечено?
Страница: << 778 779 780 781 782 783 784 >> [Всего задач: 8157]
Задача 66625 |
|
|
В доме $8N$ этажей. В подъезде два лифта, в каждом из которых кнопки расположены в виде прямоугольника $N\times 8$ ($N$ строк, 8 столбцов), но пронумерованы по-разному: в одном «слева направо, снизу вверх», а в другом «снизу вверх, слева направо» (пример для $N=3$ см. на рисунке). Даня нажимает кнопку своего этажа, не глядя на нумерацию, потому что эта кнопка в обоих лифтах расположена на одном и том же месте. На каком этаже он может жить? (Например, для $N=3$ ответ 1 и 24. Требуется найти все возможные варианты в зависимости от $N$.)
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66646 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66647 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66650 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66651 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 778 779 780 781 782 783 784 >> [Всего задач: 8157]
