Все источники >> Олимпиады и турниры соревнования: Московская математическая олимпиада (2003 задачи) Турнир городов (1854 задачи) Турнир им.Ломоносова (372 задачи) Математический праздник (404 задачи) Турнир журнала "Квант" (8 задач) Белорусские республиканские математические олимпиады (132 задачи) Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (915 задач) Московская устная олимпиада по геометрии (185 задач) Московская математическая регата (557 задач) Московская устная олимпиада для 6-7 классов (188 задач) Окружная олимпиада (Москва) (416 задач) Всероссийская олимпиада по математике (1125 задач) Международная Математическая Олимпиада (16 задач) Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов) (48 задач) Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике (150 задач) Фильтр Сложность с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 по 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   Класс с 5 6 7 8 9 10 11 по 5 6 7 8 9 10 11
Задачи Страница: << 942 943 944 945 946 947 948 >> [Всего задач: 8157]       по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями   Задача 66015 Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Авторы: Акопян А.В., Кожевников П.А. Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ωb с центром P проходит через вершину B, а окружность Ωc с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ωb и Ωc имеют общую точку. Прислать комментарий     Решение Задача 66016 Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Исследование квадратного трехчлена ] Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Автор: Подлипский О.К. Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами? Прислать комментарий     Решение Задача 66017 Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательная окружность ] [ Теорема синусов ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Удвоение медианы ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Автор: Обухов Б. В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.
	Прислать комментарий	Решение

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) a₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – a₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – a₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов?

Прислать комментарий

Решение

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 942 943 944 945 946 947 948 >> [Всего задач: 8157]      

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)

Пишите нам