Страница:
<< 957 958 959 960
961 962 963 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
В левой нижней клетке доски 100×100 стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки $A$ и $B$, что фишка не менее двух раз делала ход из $A$
в $B$.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более
а) 99 попыток;
б) 75 попыток;
в) 74 попытки.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Вписанная окружность касается сторон $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N, K$ и $M$ соответственно. Прямые $MN$ и $MK$ пересекают биссектрису внешнего угла $B$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что прямые $RK$ и $SN$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC$.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что $|a_0a_1...a_k + a_1a_2...a_{k+1} + ... + a_na_{n+1}...a_{n+k}| = 2017.$
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ≤ 1/r, где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.
Страница:
<< 957 958 959 960
961 962 963 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
