Страница: << 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110182

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Арифметическая прогрессия a₁, a₂, ..., состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение a_na_n+31 делится на 2005.
Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110187

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110188

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Трапеции (прочее) ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110201

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a_nx + b_n  равно многочлену  P(x) = x²ⁿ + c₁x^2n–1 + c₂x^2n–2 + ... + c_2n–1x + c_2n,  где коэффициенты  c₁, c₂, ..., c_2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты a_k и b_k положительны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110208

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Правило произведения ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Раскраски ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Назовём раскраску доски 8×8 в три цвета хорошей, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трёх цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата 3×3 вырезанием квадрата 2×2.)  Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше чем 6⁸.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями