Страница:
<< 1397 1398 1399 1400
1401 1402 1403 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили
на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на
каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Каждая сторона правильного треугольника разбита на 10 равных отрезков, и
через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный
треугольник разбился на 100 маленьких треугольников-клеток. Треугольники,
расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.
Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные
клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то M(i) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).
а) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000). Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
б) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ..., M(1000000). Докажите, что число таких членов последовательности, что M(i) = M(i + 7), не меньше 450000.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км?
б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке).
в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?
Страница:
<< 1397 1398 1399 1400
1401 1402 1403 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
