Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108237  (#96.4.11.7)

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки подобия ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC взята такая точка O, что  ∠COA = ∠B + 60°,  ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°.  Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109885  (#96.4.11.8)

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв a и b, что при одновременной замене всех букв a на aba и букв b на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109631  (#96.5.9.1)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 9

Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109632  (#96.5.9.2)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три окружности одного радиуса ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Центры O₁ , O₂ и O₃ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O₁ , O₂ и O₃ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109633  (#96.5.9.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что   xⁿ + yⁿ = p^k.
Докажите, что если число n  (n > 1)  нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями