Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны  n + 1  попарно различных натуральных чисел, меньших 2n  (n > 1).
Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.

   Решение

---

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108174  (#97.5.10.6)

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB₁ треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109651  (#97.5.10.7)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что  m + n = (НОД(m, n))²,  m + l = (НОД(m, l))²,  n + l = (НОД(n, l))².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109652  (#97.5.10.8)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Инварианты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

1. Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
2. Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109645  (#97.5.11.1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 1 + 16y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109639  (#97.5.11.2)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Кооперативные алгоритмы ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

  Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого, синего или красного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из трёх цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз).
  После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака.
  Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казненных. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями