Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

  в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110082  (#01.4.8.6)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n,   n + 1,  n + 2  и  n + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  n = 60398  – хорошее.)
Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110083  (#01.4.8.7)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Раскраски ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в 4 цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в три цвета?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110084  (#01.4.8.8)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями