Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 102 103 104 105 106 107 108 >> [Всего задач: 915]

Задача 65935

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Центр масс	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А₁, В₁ и С₁ точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С, обозначив меньшую через S₁, среднюю – S₂, а большую – S₃. Докажите, что где S – площадь треугольника А₁В₁С₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65937

Темы:	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р.

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65938

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Построения одной линейкой	]
	[	Окружность Аполлония	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 65941

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Формула Эйлера	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Докажите, что описанная сфера тетраэдра ABCD целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66213

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки K и L соответственно так, что ∠AKD = ∠CLD.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника BKL равноудален от A и C.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 102 103 104 105 106 107 108 >> [Всего задач: 915]