Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 116651 (#11.6)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На столе лежит куча из более чем n² камней. Петя и Вася по очереди берут камни из кучи, первым берёт Петя. За один ход можно брать любое простое число камней, меньшее n, либо любое кратное n число камней, либо один камень. Докажите, что Петя может действовать так, чтобы взять последний камень независимо от действий Васи.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116652 (#11.7)

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что P(a) = P(b) = P(c).

Прислать комментарий

Решение

Задача 116653 (#11.8)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кунгожин М.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I₁ и I₂ центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I₁, I₂, A, N лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]