ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 32885  (#1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Ваня записал несколько простых чисел, использовав ровно по одному разу все цифры от 1 до 9. Сумма этих простых чисел оказалась равной 225.
Можно ли, использовав ровно по одному разу те же цифры, записать несколько простых чисел так, чтобы их сумма оказалась меньше?

Прислать комментарий     Решение

Задача 32886  (#2)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Треугольник ABC равнобедренный  (AB = BC).  Точка M – середина стороны AB, точка P – середина отрезка CM, точка N делит сторону BC в отношении  3 : 1  (считая от вершины B). Докажите, что  AP = MN.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32887  (#3)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На занятии кружка 10 школьников решали 10 задач. Все школьники решили разное количество задач; каждую задачу решило одинаковое количество школьников. Один из этих десяти школьников, Боря, решил задачи с первой по пятую и не решил задачи с шестой по девятую. Решил ли он десятую задачу?

Прислать комментарий     Решение

Задача 32888  (#4)

Темы:   [ Смешанные уравнения и системы уравнений ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

По кругу расставили 1000 чисел, среди которых нет нулей, и раскрасили их поочередно в белый и чёрный цвета. Оказалось, что каждое чёрное число равно сумме двух соседних с ним белых чисел, а каждое белое число равно произведению двух соседних с ним чёрных чисел. Чему может быть равна сумма всех расставленных чисел?

Прислать комментарий     Решение

Задача 32889  (#5)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Будем называть точку плоскости узлом, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .