Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65013  (#12)

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В прямоугольном треугольнике ABC  CH – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает больший катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что:
  а)  B'M || BC;
  б)  AK – касательная к окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65014  (#13)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AB = BC.  На диагонали BD выбрана такая точка K, что  ∠AKB + ∠BKC = ∠A + ∠C.
Докажите, что  AK·CD = KC·AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65015  (#14)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Признаки подобия ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что  S_ABCD ≥ 3S_BCM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65016  (#15)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC  AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
  а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.

  б)  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65017  (#16)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки подобия ] [ Теорема Птолемея ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями