Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64734  (#9.1)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Неравенства для углов треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64735  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64736  (#9.3)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64737  (#9.4)

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Точка Лемуана ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC отметили точки A', B' касания сторон BC, AC c вписанной окружностью и точку G пересечения отрезков AA' и BB'. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64738  (#9.5)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями