Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 66147 (#9.1)

Темы:	[	Ориентированные графы	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город A доступен для города B, если из B можно долететь в A, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов P и Q существует город R, для которого и P, и Q доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что город доступен для себя.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 66155 (#10.1)

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые l₁ и l₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на l₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на l₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66162 (#11.1)

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x + cos 65x – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66148 (#9.2)

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66156 (#10.2)

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B' и C' соответственно. Через точку C' проведена прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая l касается описанной окружности ω треугольника B'OC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]