ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 66613  (#1)

Темы:   [ Показательные неравенства ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66614  (#2)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\frac{a}{x}$, что в первой координатной четверти (x>0, y>0) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66615  (#3)

Тема:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Попов А.Н.

У многогранника, изображенного на рисунке, грани — четыре правильных пятиугольника, четыре треугольника и два квадрата. Во сколько раз сторона верхнего квадрата больше стороны нижнего?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66616  (#4)

Тема:   [ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66617  (#5)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .