Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]

Задача 67024

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ . Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$ . Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 67025

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Кулыгин А.К.

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?

Прислать комментарий Решение

Задача 67015

Тема:

[

Взвешивания

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Медведь Н.Ю.

У входа на рынок есть двухчашечные весы без гирек, которыми каждый может воспользоваться по 2 раза в день. У торговца Александра есть 3 неотличимые внешне монеты весом 9, 10 и 11 грамм.

— Как жаль, что я не могу за 2 взвешивания разобраться, какая из моих монет сколько весит!

— Да! — поддакнул его сосед Борис. — У меня совершенно та же ситуация — тоже 3 неотличимые на вид монеты весом 9, 10 и 11 грамм!

Докажите, что если они объединят усилия, то за отведённые им 4 взвешивания определят веса всех шести монет.

Прислать комментарий Решение

Задача 67029

Темы:	[	Построения (прочее)	]
Темы:	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$ ) нарисовали график показательной функции $y=3^x$ . Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$ ?

Прислать комментарий Решение

Задача 67020

Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Галочкин А.И.

Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число $t>1$ (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в $t$ раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет $100$ предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в $t$ раз, не меняя количества монет, то у него будет $101$ предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]