Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67159  (#1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида $aх^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ – натуральные числа, не превосходящие 100?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67160  (#2)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Даны два взаимно простых числа p, q, больших 1 и различающихся больше, чем на 1. Докажите, что найдётся натуральное n, для которого НОК(p + n, q + n) < НОК(p, q).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67161  (#3)

Темы:   [ Концентрические окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$. Хорда $AD$ окружности $\Omega$ касается $\omega$. Внутри меньшего сегмента $AD$ круга с границей $\Omega$ взята произвольная точка $P$. Касательные из $P$ к окружности $\omega$ пересекают большую дугу AD окружности $\Omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезки $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что отрезок $PQ$ делит отрезок $AD$ на две равные части.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67162  (#4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Обход графов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В клетчатом квадрате между каждыми двумя соседними по стороне клетками есть закрытая дверь. Жук начинает с какой-то клетки и ходит по клеткам, проходя через двери. Закрытую дверь он открывает в ту сторону, в которую идёт, и оставляет дверь открытой. Через открытую дверь жук может пройти только в ту сторону, в которую дверь была открыта. Докажите, что если жук в какой-либо момент захочет вернуться в исходную клетку, то он сможет это сделать.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67163  (#5)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями