Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

   Решение

---

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

   Решение

---

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.
Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

   Решение

Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109454

Темы:   [ Инварианты ] [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109527

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109655

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110106

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116425

Темы:   [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Возьмём все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.
  а) Какая наименьшая сумма может получиться?
  б) А какая наибольшая?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями