Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Вписанная окружность касается его сторон $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. Пусть $T$ – ближайшая к $N$ точка пересечения прямой $AN$ с вписанной окружностью, а $K$ – точка пересечения прямых $DE$ и $FT$. Докажите, что $AK||BC$.

   Решение

Куб со стороной 10 разбит на 1000 кубиков с ребром 1. В каждом кубике записано число, при этом сумма чисел в каждом столбике из 10 кубиков (в любом из трёх направлений) равна 0. В одном из кубиков (обозначим его через A) записана единица. Через кубик A проходит три слоя, параллельных граням куба (толщина каждого слоя равна 1). Найдите сумму всех чисел в кубиках, не лежащих в этих слоях.

   Решение

Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 296]      

В равнобедренную трапецию площадью 28 вписана окружность радиуса 2. Найдите боковую сторону трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Одно из оснований трапеции служит диаметром окружности радиуса R, а другое является хордой и отсекает от окружности дугу в радиан ( 0 < < ). Найдите площадь трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

Прислать комментарий

Решение

В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Дана прямоугольная трапеция. Окружность, построенная на меньшей боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны и делит её на отрезки, равные a и b. Найдите радиус окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 296]