Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 [Всего задач: 60]
|
|
Сложность: 7- Классы: 10,11
|
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем
, б) не меньше, чем
, в)
не меньше, чем
?
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две
равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на
части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат
контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику,
включая контур.)
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников,
получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два
треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что
любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 8,9,10
|
Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного
многоугольника M .
Треугольник T' получается из треугольника T
центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T .
Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит
внутри или на границе многоугольника M .
|
|
Сложность: 10- Классы: 9,10,11
|
Какое наибольшее число точек можно разместить a) на плоскости; б)* в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать
на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно
точек.)
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 [Всего задач: 60]