Страница:
<< 3 4 5 6 7
8 9 >> [Всего задач: 43]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Дано четыре положительных числа a, p, c, k, произведение которых
равно 1. Доказать, что a² + p² + c² + k² + ap + ac + pc + ak + pk + ck ≥ 10.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Может ли в наборе из шести чисел (a, b, c, a²/b, b²/c, c²/a}, где a, b, c – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что если x > 0, y > 0, z > 0 и x² + y² + z² = 1, то 
, и укажите, в каком случае достигается равенство.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Таня взяла список из ста чисел 1, 2, 3, . . . , 100 и вычеркнула несколько
из них. Оказалось, что какие бы два числа из оставшихся Таня ни взяла в качестве $a$ и $b$, уравнение $x^2 + ax + b=0$ имеет хотя бы один действительный корень. Какое наибольшее количество чисел могло остаться не вычеркнутым?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Даны два набора из n вещественных чисел: a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из ai < aj следует, что bi ≤ bj;
б) из ai < a < aj, где a = 1/n (a1 + a2 + ... + an), следует, что bi ≤ bj,
то верно неравенство n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).
Страница:
<< 3 4 5 6 7
8 9 >> [Всего задач: 43]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Алгебраические неравенства и системы неравенств
>>
Квадратичные неравенства (несколько переменных)
