Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 43]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Числа x1, x2, ..., xn таковы, что x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ 0 и 
Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных
единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не
больше ¼.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$
Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
а) x1, x2, x3, x4, x5 – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x1x2, x2x3, x3x4, x4x5 и x5x1.
б) При каком наибольшем cn для любых неотрицательных x1, ..., xn верно неравенство (x1 + x2 + ... + xn)² ≥ cn(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1)
(в правой части n слагаемых)?
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 43]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Алгебраические неравенства и системы неравенств
>>
Квадратичные неравенства (несколько переменных)
