ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1006]      



Задача 60445

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше 3/20;
  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше 1/20.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60558

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что число    (m, n ≥ 0)  целое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61472

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах Fn(x) и Ln(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61498

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
  а)  (1 + x + ... + x9)3(1 + x–1 + ... + x–9)3 = x27 + ... + a1x + N + a1x + ... + x–27;
  б)  (1 + x + ... + x9)6 = 1 + ... + Nx27 + ... + x54.
  в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61520

Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Производящие функции ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи 61519 и равенством     где
  – обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1006]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .