Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 370]

Задача 116153

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?

Прислать комментарий

Решение

Задача 30599

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 31088

Темы:	[	Ориентированные графы	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением.
Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60418

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Докажите, что все равно можно составить компанию из трёх друзей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60737

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число, p ≠ 2, 5. Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача 60736), и второе – принцип Дирихле.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 370]