Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]

Задача 78251

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дана последовательность чисел F₁, F₂, ...; F₁ = F₂ = 1 и F_n+2 = F_n + F_n+1. Доказать, что F_5k делится на 5 при k = 1, 2, ... .

Прислать комментарий

Решение

Задача 98154

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Анджанс А.

Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.

Прислать комментарий Решение

Задача 60578

[Формула Бине]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите по индукции формулу Бине:

F_n = $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n-\widehat{\varphi}^{n}}{\sqrt5}}$ ,

где $\varphi$ = ${\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ — ``золотое сечение'' или число Фидия, а $\widehat{\varphi}$ = ${\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60563

Тема:

[

Числа Фибоначчи

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60566

Тема:

[

Числа Фибоначчи

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при n $\geqslant$ 1 и m $\geqslant$ 0 выполняется равенство

F_{n + m} = F_{n - 1}F_m + F_nF_{m + 1}.

Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]