Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

   Решение

---

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

   Решение

---

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.
Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

   Решение

Страница: << 82 83 84 85 86 87 88 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111691

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На столе лежат  N > 2  кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111843

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111844

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике  (n > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116257

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Найдите все такие натуральные числа a и b, что  (a + b²)(b + a²)  является целой степенью двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116590

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция в геометрии ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На окружности отмечено 2N точек (N – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем паросочетанием такой набор из N хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание чётным, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и нечётным иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 82 83 84 85 86 87 88 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями