На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что  AK + LC = KL.  Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.

   Решение

Дано четыре положительных числа a, p, c, k, произведение которых равно 1. Доказать, что  a² + p² + c² + k² + ap + ac + pc + ak + pk + ck ≥ 10.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

Существует ли треугольник, для сторон x, y, z которого выполнено соотношение  x³ + y³ + z³ = (x + y)(y + z)(z + x)?

Прислать комментарий

Решение

a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Пусть  p = + + и  q = + + . Докажите, что | p - q| < 1.

Прислать комментарий

Решение

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Прислать комментарий

Решение

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]