Версия для печати
Убрать все задачи
Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна ½ AC² sin∠A.
Решение
Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.
Решение
Даны правильная четырёхугольная пирамида
SABCD и цилиндр, центр
симметрии которого лежит на прямой
SO (
SO – высота пирамиды). Точка
E – середина апофемы грани
BSC , точка
F принадлежит ребру
SD , причём
SF=2
FD . Прямоугольник, являющийся одним из
осевых сечений цилиндра, расположен так, что две его вершины лежат на
прямой
AB , а одна из двух других вершин лежит на прямой
EF . Найдите
объём цилиндра, если
SO=12
,
AB=4
.
Решение
Даны правильная четырёхугольная пирамида
SABCD и конус, центр
основания которого лежит на прямой
SO (
SO – высота пирамиды). Точка
E – середина ребра
SD , точка
F лежит на ребре
AD ,
причём
AF=
FD . Треугольник, являющийся одним из осевых
сечений конуса, расположен так, что две его вершины лежат на
прямой
CD , а третья – на прямой
EF .
Найдите объём конуса, если
AB=4
,
SO=3
.
Решение
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и
коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?
Решение
На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC1, A1BC и AB1C.
Докажите, что прямые AA1,
BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Решение
Фильтр
