Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольник со сторонами 9 и 15 вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны двум данным сторонам треугольника. Найдите другую сторону параллелограмма и третью сторону треугольника.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена биссектриса CL. Докажите, что  CL < 2BL.

   Решение

---

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
  а)  m = n = 2;
  б)  m = 2  и произвольного n;
  в) любых натуральных m и n.

   Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 224]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109742

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Вспомогательные проекции ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115356

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116213

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что  a = b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116229

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших чисел равна b.
  а) Докажите, что если  k = 2,  то  a = b.
  б) В случае  k = 3  приведите пример такой таблицы, для которой  a ≠ b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78628

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и  m > k,  что m и  n – k  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k.  В первую строчку записываются (по порядку) числа  1, 2, ..., n.  Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 224]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями